Expression par récurrence

On se propose désormais d'établir une relation de récurrence permettant de calculer les termes de la suite  $(a_n)$ les uns après les autres, ce qui nous permettra par la suite d'implémenter la méthode de la fausse position en Python.

Exercice

Pour tout entier naturel $n$ , on note  $A_n$ le point de coordonnées $(a_n;f(a_n))$ . Par ailleurs, on note  $B$ le point de coordonnées $(b;f(b))$ .

1. Justifier que l'équation réduite de la droite $(A_{n}B)$  est   $y={\displaystyle \frac{f(b)-f(a_n)}{b-a_n}}\times x+f(b)-b\times {\displaystyle \frac{f(b)-f(a_n)}{b-a_n}}$ .
2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , on a $a_{n+1}=b-{\displaystyle \frac{b-a_n}{f(b)-f(a_n)}}\times f(b)$ .