Expression par récurrence

On se propose désormais d'établir une relation de récurrence permettant de calculer les termes de la suite  \((a_n)\) les uns après les autres, ce qui nous permettra par la suite d'implémenter la méthode de la fausse position en Python.

Exercice

Pour tout entier naturel \(n\) , on note  \(A_n\) le point de coordonnées \((a_n;f(a_n))\) . Par ailleurs, on note  \(B\) le point de coordonnées \((b; f(b))\) .

1. Justifier que l'équation réduite de la droite \((A_nB)\)  est   \(y=\dfrac{f(b)-f(a_n)}{b-a_n} \times x + f(b)-b \times \dfrac{f(b)-f(a_n)}{b-a_n}\) .
2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(a_{n+1}=b-\dfrac{b-a_n}{f(b)-f(a_n)} \times f(b)\) .